机器人一旦开始“动起来”，就绕不开一个最基础的问题：怎么描述物体在空间中的位置和朝向。

比如机械臂末端在哪里，夹爪朝哪个方向，工件相对机器人底座是什么姿态，摄像头看到的目标怎么转换到机械臂坐标系下……这些问题表面上看不一样，背后其实都在处理同一件事：空间中的描述与变换。

这一部分内容几乎是整个机器人学的坐标语言。后面你学正运动学、逆运动学、雅可比矩阵，甚至手眼标定、视觉伺服，本质上都在不断使用这一套东西。所以这一章看起来像“基础工具”，其实是机器人学里非常核心的一层。

坐标系与坐标变换

机器人操作对象、工具和自身结构，都是在三维空间中运动的。只要涉及空间运动，就一定要回答两个问题：第一，这个东西在哪；第二，它朝哪。

“在哪”说的是位置，“朝哪”说的是姿态。单独知道位置还不够，因为一个夹爪即使末端点到了目标处，也可能方向完全不对，根本抓不住东西。机器人真正需要处理的，从来不是纯位置，而是位置加方向，也就是我们常说的位姿。

要想把位姿描述清楚，就必须先建立坐标系。机器人学通常默认存在一个“世界参考系”，然后所有东西的位置和方向，都相对于某个坐标系来描述。你也可以继续在其他局部坐标系里描述它们，比如末端坐标系、相机坐标系、工件坐标系。于是，机器人学很自然就变成了一门“在不同坐标系之间来回翻译”的学问。

位置怎么描述：用位置向量

如果一个坐标系已经建立好了，那么空间中的任意一点，都可以用一个三维向量来表示。最常见的写法是：

这里上标 (A) 的意思是：这个向量是在坐标系 ({A}) 中表达的。也就是说，这三个数表示的是该点沿着 ({A}) 的 (x,y,z) 三个坐标轴方向的分量。

这件事看起来很普通，但其实非常重要。因为同一个物理点，在不同坐标系下写出来的数值往往完全不同。点本身没有变，变的是它的描述方式。机器人学后面大量操作，说到底都不是“把物体真的搬走”，而是在做“换一种坐标表达”。

方向怎么描述：用旋转矩阵

位置用向量描述，那一个刚体的朝向怎么描述？机器人学里最标准的方法，是在这个刚体上再附一个坐标系。这样一来，只要把这个附着坐标系相对于参考坐标系的方向说清楚，就等于把刚体朝向说清楚了。

假设我们把坐标系 ({B}) 固定在物体上，要描述它相对于 ({A}) 的方向。一个直接做法是：把 ({B}) 的三个单位轴向量，分别写成 ({A}) 坐标系下的分量，然后把它们按列排起来，形成一个 (3\times 3) 矩阵：

这就是旋转矩阵。它的每一列，表示 ({B}) 的一个坐标轴在 ({A}) 中长什么样。于是只要这个矩阵给出来，({B}) 的方向也就完全确定了。

旋转矩阵有两个非常重要的性质。第一，它的列向量两两正交，且长度都为 1；第二，它的逆矩阵等于它的转置矩阵：

这件事很有用，因为它意味着如果你知道“B 相对 A 的方向”，那“A 相对 B 的方向”不用重新算，直接转置就行：

坐标系的完整描述

在机器人里，仅仅知道一个物体的方向还不够，还得知道它的位置。所以一个完整的坐标系描述，其实要同时包含两部分：方向和原点位置。

这其实就是机器人学里对“一个坐标系相对于另一个坐标系”的完整表达。位置解决“它在哪”，旋转矩阵解决“它朝哪”。

有了描述方法，怎么从一个坐标系换到另一个

机器人学里最常见的操作，不是求一个点在哪，而是：已知它在 B 系里的坐标，怎么换成 A 系里的坐标。

先看最简单的情况。如果 ({A}) 和 ({B}) 方向完全一样，只是原点平移了，那么有：

也就是说，如果两个坐标系没有转动关系，只是挪了位置，那换坐标本质上就是向量相加。

再看第二种情况。如果两个坐标系原点重合，但方向不同，那么坐标变换就只能靠旋转矩阵：

这条公式非常重要。它表示的是：同一个点没有动，只是把它从 B 系表达，换成了 A 系表达。左边和右边说的是同一个物理点，只是数字写法不同。

如果平移和旋转同时存在，那两者合起来就是：

这就是最常见的刚体坐标变换公式。你可以把它理解成两步：先把 B 系中的向量方向转到 A 系里，再把原点偏移补上。

齐次变换矩阵：一种更统一的表示

上面这个公式已经够用了，但写起来有点分裂：前半部分是矩阵乘法，后半部分是向量加法。为了让“旋转 + 平移”统一成一次矩阵运算，机器人学里引入了齐次变换矩阵。

定义：

同时，把三维点扩成四维形式：

于是原来的“旋转加平移”就能写成统一形式：

这个矩阵 {T} 就叫齐次变换矩阵。它本质上并没有引入什么新物理意义，只是把旋转和平移打包成了一个统一算子。这样一来，机器人里的多级坐标变换就会特别整齐，尤其适合写链式关系。

齐次变换最方便的地方：能直接连乘

机器人里常常会遇到这样的问题：末端相对于关节 3，关节 3 相对于关节 2，关节 2 相对于底座，底座相对于世界。那末端相对于世界怎么求？

这时候齐次变换的优势就出来了。假设有三个坐标系 ({A},{B},{C})，那么：

也就是说，中间那个坐标系自动“消掉”了。这种写法在机械臂正运动学里几乎天天出现。你只要从底座一路往末端乘过去，就能得到末端相对于基座的总变换。

这也是为什么很多机器人教材在讲坐标变换时会特别强调记号系统。因为一个好的上标下标习惯，会让你在写连乘时几乎像做单位消元一样自然。

同样一个矩阵，为什么既能表示“描述”，又能表示“变换”

这部分是很多初学者最容易绕进去的地方。齐次变换矩阵 ({T}) 在机器人学里通常有三种看法，但数学形式是同一个。

第一种看法，它是一个坐标系描述。比如

表示“B 坐标系相对于 A 坐标系长什么样”。第二种看法，它是一个映射关系，把某个点从 B 系坐标变成 A 系坐标。第三种看法，它还可以被看成一个算子，直接对一个向量做“旋转加平移”的操作。

这三种看法本质上说的是同一套数学，只是站的角度不同。一个是“这个坐标系怎么定义”，一个是“怎么换坐标表达”，一个是“怎么对向量做几何操作”。刚开始学时容易混，但熟悉以后会发现，这种统一性反而让机器人学特别干净。

旋转的常用表示方法：欧拉角

旋转矩阵很好用，但有一个明显问题：它有 9 个数，看起来有点笨重。可一个三维旋转本质上只有 3 个自由度，所以大家自然会问：能不能只用 3 个参数来表示方向？

答案当然可以，这就引出了各种欧拉角和固定角表示。比如一种常见方式是按固定坐标轴顺序旋转，先绕 (X) 轴转 (\gamma)，再绕 (Y) 轴转 (\beta)，最后绕 (Z) 轴转 (\alpha)。那么总旋转矩阵可以写成：

其中三个基础旋转矩阵分别是：

把它们乘起来，就得到完整方向。

这种表示的优点很明显：只用 3 个角度，输入和理解都比较方便。比如给机械臂设一个“朝下”“向左偏 30 度”的姿态，人脑更容易接受角度，而不是直接去敲一个 (3x3) 矩阵。

但它也有缺点，就是会遇到奇异性。在某些姿态下，三个角度不再稳定，甚至会出现万向节锁问题。所以在工程里，欧拉角适合人机交互和显示，而旋转矩阵更适合内部计算。

旋转的其它表示方法：轴角和四元数

轴角其实很好理解，它把任意一个三维旋转看成“绕某一根轴转了一个角度”。也就是说，不再用九个数去写旋转矩阵，也不一定非要拆成三个欧拉角，而是直接回答两个问题：绕哪根轴转、转了多少角。于是，一个旋转就可以用“单位轴向量 + 旋转角”来描述。如果把旋转轴写成

旋转角写成 θ，那么轴角表示就记作 (k^,θ)。它的直觉特别强，因为你很容易在脑子里想象一个物体沿着某根空间轴转动的样子。后面学机器人运动学、刚体运动指数映射时，轴角表示会非常常见，因为它和“旋转的本质”贴得很近。

四元数可以理解成另一种表示旋转的方法，它本质上也是在描述三维方向变化，但形式上比欧拉角更稳定，比旋转矩阵更紧凑。它通常用四个数来表示一个旋转，虽然这四个数还要满足一个单位长度约束，但本质上仍然只对应三个自由度。一个常见写法是

这里 k^是旋转轴，θ是旋转角。四元数最大的优点，是在做姿态插值、连续旋转和数值计算时不容易出奇异问题，也不会像欧拉角那样在某些姿态下突然变得很别扭。所以在机器人、图形学、无人机和视觉系统里，四元数经常被拿来做内部姿态表示。

这一章最值得记住的是什么

如果把这一章压缩成最核心的几件事，其实就这几条。

第一，位置用向量表示，方向用旋转矩阵表示，完整位姿用齐次变换表示。第二，同一个物理对象在不同坐标系下会有不同数值描述，机器人学的大量工作，本质上是在不同描述之间做转换。第三，齐次变换矩阵是机器人学里最基础的坐标工具，它既能表示一个坐标系，也能做映射和连乘。第四，旋转除了矩阵，还可以用欧拉角、固定角、轴角等方式表示，但每种表示都有自己的优缺点。

真正学会这一章之后，你对机器人“空间关系”这件事的理解会一下子清楚很多。后面再看正运动学，其实就是在不断连乘这些变换矩阵；看逆运动学，本质上是在反过来求这些矩阵对应的关节变量；看视觉和标定，也是在不同坐标系之间做统一表达。

所以这部分看起来像坐标系基础，实际上它就是机器人学的语言系统。后面很多内容，都是在用这门语言说更复杂的话。

参考文献

Craig, John J. Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Third Edition. Pearson, 2014.

 

上一篇：机器人学入门 1：自由度与工作空间

 

文章来源于公众号-机器人学习笔记，仅用于学习分享，如有侵权请私聊删除